Однажды в субботнее летнее утро мне страсть как захотелось порисовать фракталы :-)
нет, серьезно.. я давно слышал о таких математических изысках, но сам никогда не вникал в их суть..

Фракталы -- это фигура, части которой подобны самой себе.. и по сути все вокруг нас является фрактальными структурами: галактики, речные системы, строение дерева, кровеносная система и т.д. фракталы являются одной из фундаментальных составляющих нашего мира.. а о них вот мало кто слышал.. за более подробной информацией обращаемся к вики..

и вот значит, фракталы.. к слову сказать, термин фрактал ввел в 1975 сотрудник IBM Бенуа Мандельброт.. если честно, меня поражает компания IBM, которая за свои долгие годы чем только не занималась.. тут и филология, и экономика, и математика, и теория чисел, и физика, и химия.. а многие привыкли считать, что IBM занимается лишь компьютерными технологиями..

так вот.. фракталы.. математики заметили, что если производить итерации в ряду Z_n = Z_n-1² + C, где Z и C комплексные числа, то при некоторых Z₀ и C значение Z_n (при n → ∞) стремится к определенному значению.. в остальных же случаях Z_n стремится к бесконечности.. причем, где-то быстрее где-то медленнее..

на этом принципе и строится мой алгоритм построения фрактала: для каждой точки плоскости делаем оценку сходимости ряда Z_n.. в качестве Z₀ берем относительные координаты плоскости и делаем итерации, пока ряд не расходится или не сходится, и в зависимости от этого закрашиваем текущую точку плоскости красным цветом.. чем быстрее ряд расходится тем менее яркая точка.. если же ряд сходится, то цвет точки ярко-красный..

в случае фракталов Мандельброта и Жюлиа используется соотношение Z_n = Z_n-1² + C, но я решил обобщить построение фракталов и взял общий случай Z_n = Z_n-1^K + C, где K - любое рациональное число..

Для построения фракталов можете воспользоваться ссылочками ниже .. или же можете вручную изменить настройки построения в форме внизу старницы и нажать кнопку Обновить картинку (или же нажать клавишу Enter, находясь в любом из полей ввода)..

Внимание: построение объектов занимает некоторое время.. поэтому если браузер вылетит с ошибкой, что скрипт не отвечает, жмите кнопку Продолжить.. через некоторое время увидите результат.. :-)

► Первоначальное изображение
► Увеличение нижней правой ветви в 2 раза
► Увеличение нижней правой ветви в 3 раза
► Увеличение нижней правой ветви в 6 раз
► Увеличение нижней правой ветви в 12 раз
► Увеличение нижней правой ветви в 24 раза

и так до бесконечности.. разве не удивительно?.. и кто говорит, что математика не прекрасна?.. :-)

теперь давайте поэкспериментируем со степенью инкремента и величиной дополнения:

► 3 снежинки
► запутавшееся Сердечко
► неведомая штука
► воронки
► еще воронки
► еще снежинки
► пентаграммка
► паутинка
► квадратус

в целом никакой магии в построении нет, степень инкремента определяет симметрию фрактала (дробные степени дают довольно забавную разорванную картинку).. величина дополнения определет распределение точек фрактала по плоскости: чем меньше дополнение, тем более плотным получается фрактал; чем больше дополнение, тем более разреженным становится фрактал..